SISTEM BILANGAN

SISTEM BILANGAN
I. DEFINISI
System bilangan (number system) adalah  suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. Sistem bilanan yang banyak dipergunakan oleh manusia adalah system biilangan desimal, yaitu sisitem bilangan yang menggunakan 10 macam symbol untuk mewakili suatu besaran.Sistem ini banyak digunakan karena manusia mempunyai sepuluh jari untuk dapat membantu perhitungan. Lain halnya dengan komputer, logika di komputer diwakili oleh bentuk elemen dua keadaan yaitu off (tidak ada arus) dan on (ada arus). Konsep inilah yang dipakai dalam sistem bilangan binary yang mempunyai dua macam nilai  untuk mewakili suatu besaran nilai.
Selain system bilangan biner, komputer juga menggunakan system bilangan octal dan hexadesimal.
II. Teori Bilangan

1. Bilangan Desimal

Sistem ini menggunakan 10 macam symbol yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8,dan 9. system ini menggunakan basis 10. Bentuk nilai ini dapat berupa integer desimal atau pecahan.
Integer desimal :
adalah nilai desimal yang bulat, misalnya 8598 dapat diartikan :
8 x 10³ = 8000
5 x 10² =   500
9 x 10¹ =      90
8 x 10⁰ =        8
8598
position value/palce value                                                                                     absolute value
Absolue value merupakan nilai untuk masing-masing digit bilangan, sedangkan  position value adalah merupakan penimbang atau bobot dari masing-masing digit tergantung dari letak posisinya, yaitu nernilai basis dipangkatkan dengan urutan posisinya.
Pecahan desimal :
Adalah nilai desimal yang mengandung nilai pecahan dibelakang koma, misalnya nilai 183,75 adalah pecahan desimal yang dapat diartikan :
1 x 10 ² = 100
8 x 10 ¹ =  80
3 x 10 ⁰ =    3
7 x 10 ^–1 =    0,7
5 x 10 ^–2 =    0,05
183,75
2. Bilangan Binar
Sistem bilangan binary menggunakan 2 macam symbol bilangan berbasis 2digit angka, yaitu 0 dan 1.
Contoh bilangan 1001 dapat diartikan :
1 0 0 1
1 x 2 ⁰ = 1
0 x 2 ¹ = 0
0 x 2 ² = 0
1 x 2 ³ = 8
10 ₍₁₀₎
Operasi aritmetika pada bilangan Biner :

1. Penjumlahan

Dasar penujmlahan biner adalah :
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0                     dengan carry of 1, yaitu 1 + 1 = 2, karena digit terbesar ninari 1, maka harus dikurangi dengan 2 (basis), jadi 2 – 2 = 0 dengan carry of 1
contoh :
1111
10100 +
100011
atau dengan langkah :
1 + 0              = 1
1 + 0              = 1
1 + 1              = 0 dengan carry of 1
1 + 1 + 1        = 0
1 + 1              = 0 dengan carry of 1                                    1  0     0      0    1     1

1. Pengurangan

Bilangan biner dikurangkan dengan cara yang sama dengan pengurangan bilangan desimal. Dasar pengurangan untuk masing-masing digit bilangan biner adalah :
0 – 0 = 0
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
0 – 1 = 1                     dengan borrow of 1, (pijam 1 dari posisi sebelah kirinya).
Contoh :
11101
1011 -
10010
dengan langkah – langkah :
1 – 1               = 0
0 – 1               = 1 dengan borrow of 1
1 – 0 – 1         = 0
1 – 1               = 0
1 – 0               = 1
1    0     0         1   0

1. Perkalian

Dilakukan sama dengan cara perkalian pada bilangan desimal. Dasar perkalian bilangan biner adalah :
0 x 0 = 0
1 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 1 = 1
contoh

Desimal	Biner
14 12 x 28 14 + 168	1110 1100 x 0000 0000 1110 1110      + 10101000

1. pembagian

Pembagian biner dilakukan juga dengan cara yang sama dengan bilangan desimal. Pembagian biner 0 tidak mempunyai arti, sehingga dasar pemagian biner adalah :
0 : 1 = 0
1 : 1 = 1

Desimal	Biner
5     / 125 \ 25  10  - 25 25 - 0	101 / 1111101 \ 11001  101 - 101 101 - 0101 101 - 0

3. Bilangan Oktal
Sistem bilangan Oktal menggunakan 8 macam symbol bilangan berbasis 8 digit angka, yaitu 0 ,1,2,3,4,5,6,7.
Position value system bilangan octal adalah perpangkatan dari nilai 8.
Contoh :
12₍₈₎ = …… ₍₁₀₎
2 x 8 ⁰ = 2
1 x 8 ¹ =8                                                                                                                                10
Jadi 10 ₍₁₀₎
Operasi Aritmetika pada Bilangan Oktal

1. Penjumlahan

Langkah-langkah penjumlahan octal :
-          tambahkan masing-masing kolom secara desimal
-          rubah dari hasil desimal ke octal
-          tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal
-          kalau hasil penjumlahan tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.
Contoh :

Desimal	Oktal
21 87 + 108	25 127 + 154 5 10 + 7 10 = 12 10 =      14 8 2 10 +  2 10 + 1 10 = 5 10 =         5 8 1 10 = 1 10 =        1 8

1. Pengurangan

Pengurangan Oktal dapat dilaukan secara sama dengan pengurangan bilangan desimal.
Contoh :

Desimal	Oktal
108 87 - 21	154 127 - 25 4 8 – 7 8 + 8 8 (borrow of) = 5 8 5 8 -  2 8 - 1 8 = 2 8 1 8 – 1 8 =  0 8

1. Perkalian

Langkah – langkah :
-          kalikan masing-masing kolom secara desimal
-          rubah dari hasil desimal ke octal
-          tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal
-          kalau hasil perkalian tiap kolol terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom selanjutnya.
Contoh :

Desimal	Oktal
14 12 x 28 14 + 168	16  14 x 70 4 10 x 6 10 = 24 10 = 30 8 4 10 x 1 10 + 3 10 = 7 10 = 7 8 16 14 x 70 16 1 10 x 6 10 = 6 10 = 6 8 1 10 x 1 10 =  1 10 = 1 8 16 14 x 70 16 + 250 7 10 + 6 10 = 13 10 = 15 8 1 10 +  1 10 = 2 10 = 2 8

1. Pembagian

Desimal	Oktal
12 /  168  \  14  12     - 48 48 – 0	14 / 250 \ 16  14 -             14 8 x  1 8 = 14 8 110 110 -           14 8 x 6 8 = 4 8 x 6 8 = 30 8 0                                  1 8 x 6 8 =   6 8 + 110 8

4. Bilangan Hexadesimal
Sistem bilangan Oktal menggunakan 16 macam symbol bilangan berbasis 8 digit angka, yaitu 0 ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,Edan F
Dimana A = 10, B = 11, C= 12, D = 13 , E = 14 dan F = 15
Position value system bilangan octal adalah perpangkatan dari  nilai 16.
Contoh :
C7₍₁₆₎ = …… ₍₁₀₎
7 x 16 ⁰ =     7
C x 16 ¹ = 192                                                                                                                             199
Jadi 199 ₍₁₀₎





Operasi Aritmetika Pada Bilangan Hexadesimal

1. Penjumlahan

Penjumlahan bilangan hexadesimal dapat dilakukan secara sama dengan penjumlahan bilangan octal, dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah-langkah penjumlahan hexadesimal :
-          tambahkan masing-masing kolom secara desimal
-          rubah dari hasil desimal ke hexadesimal
-          tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil hexadesimal
-          kalau hasil penjumlahan tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.
Contoh :

Desimal	hexadesimal
2989 1073  + 4062	BAD 431 + FDE D 16 + 1 16 = 13 10 + 110 = 14 10 = E 16 A 16 + 3 16 = 10 10 + 3 10 = 13 10 =D 16 B16 + 4 16 = 1110 + 4 10 = 15 10 = F 16

1. Pengurangan

Pengurangan bilangan hexadesimal dapat dilakukan secara sama dengan pengurangan bilangan desimal.
Contoh :

Desimal	hexadesimal
4833 1575  - 3258	12E1 627 - CBA 16 10 (pinjam) + 1 10 – 710 = 10 10 = A 16 14 10 – 7 10 – - 1 10 (dipinjam) = 11 10 =B 16 1610 (pinjam) + 2 10 - 610 = 12 10 = C 16 1 10 – 1 10 (dipinjam)  0 10 = 0 16

1. Perkalian

Langkah – langkah :
-          kalikan masing-masing kolom secara desimal
-          rubah dari hasil desimal ke octal
-          tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal
-          kalau hasil perkalian tiap kolol terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom selanjutnya.
Contoh :

Desimal	Hexadesimal
172 27 x 1204 344 + 4644	AC 1B x 764 C 16 x B 16 =12 10 x 1110= 84 16 A16 x B16 +816 = 1010 x 1110+810=7616 AC 1B x 764 AC C16 x 116 = 1210 x 110 =1210=C16 A16 x 116 =  1010 x110 =1010=A 16 AC 1B x 764 AC + 1224 616 + C16 = 610 + 1210 = 1810 =12 16 716+A16 +116 = 710 x 1010 + 110=1810 = 1216

D. Pembagian
Contoh :

Desimal	hexadesimal
27 /  4646  \  172  27- 194 189 – 54 54 – 0	1B / 1214 \ AC  10E -      1B16xA16 = 2710x1010=27010= 10E16 144 144-      1B 16 x C16 = 2710 x 10 10 = 3240 10 0                                                =14416

III. Konversi Bilangan
Konversi bilangan adalah suatu proses dimana satu system bilangan dengan basis  tertentu akan dijadikan  bilangan dengan basis yang alian.

Konversi dari bilangan Desimal

1. Konversi dari bilangan  Desimal ke biner

Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan dua kemudian diambil sisa pembagiannya.
Contoh :
45 (10) = …..(2)
45 : 2 = 22 + sisa 1
22 : 2 = 11 + sisa 0
11 : 2 =   5 + sisa 1
5 : 2 =   2 + sisa 1
2 : 2 =   1 + sisa 0               101101(2) ditulis dari  bawah ke atas

1. Konversi bilangan Desimal ke Oktal

Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan 8 kemudian diambil sisa pembagiannya
Contoh :
385 ( 10 ) = ….(8)
385 : 8 = 48 + sisa 1
48 : 8 =   6 + sisa 0
601 (8)

1. Konversi bilangan Desimal ke Hexadesimal

Yaitu dengan cara membagi bilangan desimal dengan 16 kemudian diambil sisa pembagiannya
Contoh :
1583 ( 10 ) = ….(16)
1583 : 16 = 98  + sisa 15
96 : 16 =   6 + sisa 2
62F (16)
Konversi dari system bilangan Biner

1. Konversi ke desimal

Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan position valuenya.
Contoh :
1 0 0 1
1 x 2 ⁰ = 1
0 x 2 ¹ = 0
0 x 2 ² = 0
1 x 2 ³ = 8
10 ₍₁₀₎

1. Konversi ke Oktal

Dapat dilakukan dengan mengkonversikan tiap-tiap tiga buah digit biner yang dimulai dari bagian belakang.
Contoh :
11010100 (2) = ………(8)
11   010   100
3          2          4
diperjelas :
100 = 0 x 2 ⁰ = 0
0 x 2 ¹ = 0
1 x 2 ² = 4
4
Begitu seterusnya untuk yang lain.

1. Konversi ke Hexademial

Dapat dilakukan dengan mengkonversikan tiap-tiap empat buah digit biner yang dimulai dari bagian belakang.
Contoh :
11010100
1101    0100
D             4
Konversi dari system bilangan Oktal

1. Konversi ke Desimal

Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan position valuenya.
Contoh :
12₍₈₎ = …… ₍₁₀₎
2 x 8 ⁰ = 2
1 x 8 ¹ =8                                                                                                                                10
Jadi 10 ₍₁₀₎

1. Konversi ke Biner

Dilakukan dengan mengkonversikan masing-masing digit octal ke tiga digit biner.
Contoh :
6502 (8) ….. = (2)
2 = 010
0 = 000
5 = 101
6 = 110
jadi 110101000010

1. Konversi ke Hexadesimal

Dilakukan dengan cara merubah dari bilangan octal menjadi bilangan biner kemudian dikonversikan ke hexadesimal.
Contoh :
2537 (8) = …..(16)
2537 (8) = 010101011111
010101010000(2)  = 55F (16)
Konversi dari bilangan Hexadesimal

1. Konversi ke Desimal

Yaitu dengan cara mengalikan masing-masing bit dalam bilangan dengan position valuenya.
Contoh :
C7₍₁₆₎ = …… ₍₁₀₎
7 x 16 ⁰ =     7
C x 16 ¹ = 192                                                                                                                             199
Jadi 199 ₍₁₀₎

1. Konversi ke Oktal

Dilakukan dengan cara merubah dari bilangan hexadesimal menjadi biner terlebih dahulu  kemudian dikonversikan ke octal.
Contoh :
55F (16) = …..(8)
55F(16) = 010101011111(2)
010101011111 (2) = 2537 (8)
Latihan :
Kerjakan soal berikut dengan benar !

1. Sebutkan dan jelaskan empat macam system bilangan !
2. Konversikan bilangan berikut :
   1. 10101111(2) = ………….(10)
   2. 11111110(2) = ………….(8)
   3. 10101110101 = …………(16)

1. Konversi dari :
   1. ACD (16) = ………(8)
   2. 174 (8) = ……..(2)

1. BC1

2A X

1. 245 (8) : 24 (8) =……..(8)